线性独立性计算器

通过此计算器在矩阵实体中选择向量、坐标和提取的数量，以检查它们是否线性独立。

在线线性独立性计算器可帮助您确定线性独立性和向量之间的依赖性。这是线性代数中一个非常重要的思想，它涉及理解向量独立性的概念。在本文中，我们分解了什么是因变量和自变量，并解释了如何确定向量是否是线性独立的？

什么是线性依赖性和独立性？

在向量空间中，如果存在一个等于零的非平凡线性向量组合，则称向量集是线性依赖的。当线性组合不存在时，称向量是线性无关的。如果等式为 $a_1 * v_1 + a_2 * v_2 + a_3 * v_3 + a_4 * v_4 + ... + a_{n – 1} * v_{n - 1} + a_n * v_n = 0$，则 $v_1、v_2、v_3、v_4、...、v_{n – 1}、v_n$ 是线性独立的向量。

这里零 （0） 是所有坐标成立的向量，当且仅当 $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + ... + a_{n-1} + a_n = 0$。

否则，我们可以说向量是线性依赖的。唯一提供零向量的线性向量组合被称为 trivial。

例如，v = （2， -1），则也取 $e_1 = （1， 0）， e_2 = （0， 1）$.

然后 $1 * e_2 + （-2） * e_1 + 1 * v = 1 * （0， 1） + （-2） * （1， 0） + 1 * （2， -1） = （0， 1） + （-2 ，0） + （2， -1） = （0， 0）$，因此，我们找到了一个非平凡的向量组合，该向量提供零。因此，它们是线性依赖的。此外，我们可以看到 $e_1和e_2$ 没有问题向量 V 是线性独立的向量。

但是，在线 Wronskian 计算器 将帮助您确定给定函数集的 Wronskian。

如何检查线性依赖性？

为了检查线性依赖性，我们将值从向量更改为矩阵。例如，二维空间中的三个向量： $V （a_1， a_2）， W （b_1， b_2）， V （c_1， c_2）$，然后将它们的坐标写为一个矩阵，每行对应于向量之一。 $$M = |D|= \left|\begin{array}{ccc}a_1 & a_1 & \\b_1 & b_2\\c_1 & c_2\end{array}\right|$$ 

$$M = |D|= \left|\begin{array}{ccc}a_1 & a_1 & \\b_1 & b_2\\c_1 & c_2\end{array}\right|$$

则矩阵秩等于 w、v 和 u 之间独立向量的最大数量。

如何判断向量是否线性无关？

为了检查向量是否线性独立，在线线性独立性计算器可以判断任何一组向量，如果它们是线性独立的。如果您想手动检查它，那么以下示例可以帮助您更好地理解。

示例 1：

找出向量线性依赖的 h 值，如果向量 $h_1 = {1， 1， 0}， h_2 = {2， 5， -3}， h_3 = {1， 2， 7}$ 在 3 维中，然后发现它们是线性独立的还是不线性的？

溶液：

如果向量 A、B、C 的行列式为零，则它们呈线性依赖。 即 |D|=0

 

$$A = （1， 1， 0）， B = （2， 5， −3）， C = （1， 2， 7）$$

 

$$|D|= \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0\\2 & 5 & -3\\1 & 2 & 7\end{array}\right|$$

 

$$|D|= 1 \times \left|\begin{array}{cc}5 & -3\\2 & 7\end{array}\right|- （1） \times \left|\begin{array}{cc}2 & -3\\1 & 7\end{array}\right|+ （0） \times \left|\begin{array}{cc}2 & 5\\1 & 2\end{array}\right|$$

 

$$|D|= 1 × （（5） × （7） − （−3） × （2）） − （1） × （2） × （7） − （ − 3） × （1）） + （0） × （2） × （2） − （5） × （1））$$

 

$$|D|= 1 × （（35） − （- 6）） − （1） × （（14） − （− 3）） + （0） × （（4） − （5））$$

 

$$|D|=1 × （41） − （1） × （17） + （0） × （− 1）$$

 

$$|D = （41） − （17） + （0）$$

 

$$|D|= 24$$

 

$$|D|= 24 ≠ 0$$

 

自 |D|≠ 0，所以向量 A、B、C 是线性无关的。

示例 2：

当三维向量为 $v_1 = {1， 1， 1}， v_2 = {1， 1， 1}， v_3 = {1， 1， 1}$确定向量是否线性无关。

解答：

如果它们的行列式为零。 即 |D|=0，则检查线性独立向量 A、B、C。

 

$$A = （1， 1， 1）， B = （1， 1， 1）， C = （1， 1， 1）$$

 

$$|D|= \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1\end{array}\right|$$

 

$$|D|=1×|1111|−（1）×|1111|+（1）×|1111|$$

 

$$|D|= 1 \times \left|\begin{array}{cc}1 & 1\\1 & 1\end{array}\right|- （1） \times \left|\begin{array}{cc}1 & 1\\1 & 1\end{array}\right|+ （1） \times \left|\begin{array}{cc}1 & 1\\1 & 1\end{array}\right|$$

 

$$|D|= 1 × （（1） − （1）） − （1） × （（1） − （1）） + （1） × （（1） − （1））$$

 

$$|D|= 1 × （0） − （1） × （0） + （1） × （0）$$

 

$$|D|= （0） − （0） + （0）$$

 

$$|D|= 0$$

 

自 |D|= 0，所以向量 A、B、C 是线性依赖的。

但是，在线 雅可比计算器 允许您找到函数集和雅可比矩阵的行列式。

线性独立性计算器如何工作？

在线线性依赖性计算器通过执行以下步骤来检查给定的向量是依赖的还是独立的：

输入：

• 首先，从下拉列表中选择向量和坐标的数量。
• 现在，替换给定的值，或者您可以通过点击“生成值”按钮在所有字段中添加随机值。
• 单击“计算”按钮。

输出：

• 线性独立计算器首先告诉向量是独立的或依赖的。
• 然后，利用线性独立矩阵计算器求出向量的行列式，并提供全面的解。

常见问题：

如何检查向量是否线性无关？

如果向量 A、B、C 的行列式为零，则向量是线性依赖的。除此之外，如果向量的行列式不等于零，则向量是线性依赖的。

如何知道矩阵是否线性无关？

最初，我们需要将矩阵转换为简化梯形。如果我们得到一个单位矩阵，那么给定的矩阵是线性独立的。

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